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列表曲线的括值与拟合

列表曲线的括值与拟合 本文关键字 曲线,列表,的括值与上面提到,某些零件的表面形状只能用给出的离散型值点来描述曲线的大 致走向,称为列表曲线。这时要用插值的方法将型值点加密,或者需求出拟合曲 线,然后再进行逼近。下面介绍插值和拟合方法。二次捂值法 又称牛顿插值法,这种方法是将相邻三个列表点(即型值点)建立二次抛物 线方程,再按方程进行插值,加密节点。此法计算简单,但相邻抛物线连接处不 连续,求出的曲线在整体上并不光滑,现在很少采用这种方法。祥条曲线拟合 某些零件,如机翼外形、内燃机进排气门的凸轮曲线等,对外形的光顺性要 求较高,曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求曲线的一阶和二 阶导数都是连续的,这可用三次参数样条曲线。所谓“样条”最初是在造船业中 放样用的一根木料或塑料做成的弹性长条,放样员利用它通过型值点画出光滑 的曲线,样条曲线便由此而得名。 下面介绍三次参数样条曲线和圆弧样 v* 条曲线。 (1)三次参数样条曲线 设在平面上给定丁n个型值点(Jj, yj)力=1,2,3,….n。用分段三次参数样 条连接这M个点,这样有n—1段三次曲 线。由于样条曲线是由分段的三次曲线构 成,因此,先建立某一段三次曲线的方程。 如图2—40,以参数*表示的单参数三 次样条曲线的方程式,一般可写成: 尸(z)=BL十B z 6十B32‘十B‘5j (2—10) 式中,P(2)=L2(*),y(*)3为祥条曲线上任一点的位置向量,它有两个分量(空 间一点则有三个分量),x(‘),y(2)可以看作位置向量的坐标值。参数‘在两个 端点L和4u之间变化,为了简化计算,可以指定‘,=o。 方程(2—10)有四个未知数B1一B‘,可以利用三次曲线的两个已知端点函数 值和两个端点处的切向量,即
 上式展开后只有n—2个方程,但有M个未知的切向量P‘i(i=1,2,…,n)o 故要求考虑边界条件(例如两个端点的切向量尸’?和尸’n为已知等),才能求出 n个切向量。有了各型值点(即节点)值及其切向量P’,可用式(2—13)一式(2— 16)求得各分段三次参数样条曲线的系数和方程,然后再通过直线或圆弧迈近, 就可以编制出列表曲线的加工程序。 (2)圆弧样条曲线 所谓圆弧佯条曲线,就是使用圆弧这一简单的二次曲线.利用样条的思路来 拟合型值点而产生的曲线。现有数控机床的数控系统都具有圆弧描补功能。列 表数据点以圆弧样条拟合后,就可将圆弧的参数直接用于编程。但是三次样条 曲线必须再次逼近处理,即将三次曲线变成分段的圆弧或直线,才能进行编程。 这样,既增加了工作员,又降低了拟合精度。因为上述优点,圆弧样条曲线应用 得很广。 用于对列表曲线进行拟合的圆弧样 条有单圆弧样条和双圆弧样条两种。 ①单圆弧样条 给定n十1个型值点PD(,o,y。), Pt(zl,y1)…P7(,k为),…Pg(z。yn), 要求经过每一个型值点作一段圆弧,并 使相邻两段圆弧在相邻两节点连线的中 垂线上相切,如图2—41所示。像这样构 成的曲线就是圆弧样条曲线,它在总体 上是一阶光顺的,分段都是等曲率的圆 弧。 现假定过两相邻型值点Pj—bPJ分 别作两段圆弧切于Pf—lPf的中垂线T


式(2—20)、式(2—21)所描绘的圆弧样条各段的切点、圆心的坐标和半径取决 于型值点马,马i处的弦切角。、60利用一阶连续条件(即型值点两侧的圆弧 段是同一圆弧)及端点条件来形成方程组,以解出各型值点处的弦切角。、A2从 而得到相邻两型值点之间的两段圆弧的切点、圆心和半径。其计算方法和公式 可参阅有关资料o ②双圆弧样条 双圆弧样条法是在两型值点间作两段彼此相切的圆弧,对于有j个型值点的 列表曲线,则有2(n—1)条圆弧,除首、后型值点外,各型值点两侧的圆弧不是同一 条圆弧,但必须在型值点处相切,因此计算比单圆弧样条复杂,详见有关文献。

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